Question

【题目】己知椭圆的焦距为，以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线相交于P，Q两点，且．

(I)求椭圆C的标准方程和圆A的方程。

(II)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为的值是否为定值?若是，求出此值：若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

分析：（1）设为的中点，连接，则 ，所以 ，又，所以，从而易得关于a，b的方程组，即可得到所求椭圆方程和圆的方程．

（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出，即可得出结论．

详解：（1）如图，设为的中点，连接，则 ，

因为，即 ，所以 ，

又，所以，所以 ，所以．

由已知得,所以

椭圆的方程为，

，

所以，所以，所以，

所以圆的方程为．

（2）设直线的方程为，

由，得，

所以，由题设知 ，

，

则

故为定值，该定值为．