Question

（本题14分）
设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的单调递增区间为．（Ⅱ）．

试题分析：（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x）＞0的x的取值区间；
（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．
方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解．
解：（Ⅰ）函数的定义域为，………………………1分
∵，………………………2分
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间为． …………………………4分
（Ⅱ）方法1：∵，
∴．…………………6分
令，              
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………………9分
故在区间内恰有两个相异实根……11分
即解得：．
综上所述，的取值范围是．………………13分
方法2：∵，
∴．………………6分
即，
令， ∵，且，
由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．………9分
∵，，，
又，故在区间内恰有两个相异实根．……11分
即．
综上所述，的取值范围是．  …………………14分
点评：解决该试题的关键将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题。