Question

设向量，，
（1）求||的最大值；
（2）若与垂直，求tan（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平面向量的数量积运算法则，由和的坐标，表示出+的模，利用完全平方公式展开后，根据同角三角函数间的基本关系，及二倍角的正弦函数公式化简，合并后，由正弦函数的值域即可得所求式子的最大值；
（2）由若与垂直，得到两向量数量积为0列出关系式，利用平面向量的数量积计算后，去括号合并，再利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，最后利用同角三角函数间的基本关系弦化切，即可求出tan（α+β）的值．
解答：解：（1）
故…（3分）
=（当且仅当sin2β=-1时取“=”），
故的最大值为；…（6分）
（2）由知：
（4cosα，sinα）•（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ）=0，…（8分）
即 4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化简得 sin（α+β）-2cos（α+β）=0，…（11分）
故tan（α+β）=2．…（12分）
点评：此题考查了平面向量数量积的性质及其运算律，向量的模，正弦函数的值域，二倍角的正弦函数公式以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．