题目内容
（本题满分12分）如图，在正四棱锥
中，
,点
在棱
上． (Ⅰ)问点在何处时，
，并加以证明；(Ⅱ)当时,求点
到平面
的距离；(Ⅲ)求二面角
的大小.
(Ⅰ) 见解析（Ⅱ) 
（Ⅲ）
解析:
法一: (Ⅰ)当E为PC中点时，
．………2分
连接AC，且
，由于四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，
∴OE为△ACP的中位线，
∴
，又
，∴……4分
(Ⅱ) 点
到平面
的距离等于点
到平面
在正△DPC和正△BPC中，由于E为PC中点，
∴PC⊥DE，PC⊥BE ，又
，
∴
，PE即为所求，
∴点到平面的距离为．………………………8分
(Ⅲ)连接PO，则
，∴
，又BO⊥AC，
∴
点
作
，垂足为
，连接
.
由三垂线定理得
.
为二面角
的平面角. ………10分
在
中，
，
.
又
， 
故二面角
的正弦值为
.
故. ………12分
解法二: (Ⅱ)作,依题意
是正方形
的中心,如图建立空间坐标系.
则
,
, 
，
．
∴
，
，
，
设面的法向量为
, ……………… 6分
点到平面的距离为
. ………………8分
(Ⅲ)设二面角的平面角为
，平面
的法向量为
.
设平面
的法向量为
, 
.………10分
. 
……………12分
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为底面的直棱柱被平面
所截而得. 
，
为
的中点．
时，求平面
为何值时，在棱
上存在点
，使
平面
中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱
，为
中点，
为
中点，
为
上一个动点.
；
的平
中，已知
的直径
的中点．
所成角的正弦值．
