Question

如下图，是一个计算装置示意图，J₁、J₂是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J₁、J₂分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

①若J₁、J₂分别输入1,则输出结果为1;

②若J₁输入任何固定自然数不变，J₂输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;

③若J₂输入1,J₁输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.

试问：

(1)若J₁输入1,J₂输入自然数n,输出结果为多少？

(2)若J₂输入1,J₁输入自然数m,输出结果为多少？

(3)若J₁输入自然数m,J₂输入自然数n,输出结果为多少?

Answer 1

解：(1)由题意，设f(m,n)=k,则f(1,1)=1,

f(m,n+1)=f(m,n)+2,f(m+1,1)=2f(m,1).

    在f(m,n+1)=f(m,n)+2中，令m=1,则有f(1,n+1)=f(1,n)+2.

    由此可知f(1,1),f(1,2),…,f(1,n),…组成以f(1,1)为首项，2为公差的等差数列.

∴f(1,n)=f(1,1)+2(n-1)=2n-1.

(2)∵f(m+1,1)=2f(m,1),

∴f(1,1),f(2,1),…,f(m,1),…组成以f(1,1)为首项，2为公比的等比数列.

∴f(m,1)=f(1,1)·2^m-1=2^m-1.

(3)f(m,n+1)=f(m,n)+2,

∴f(m,1),f(m,2),…,f(m,n),…组成以f(m,1)为首项，2为公差的等差数列.

∴f(m,n)=f(m,1)+2(n-1)=2^m-1+2n-2.