Question

已知函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

Answer 1

（1）f（x）=x²-4x-6lnx，f'（x）=2x-4-

6

x

=

2(x+1)(x-3)

x

，（2分）
由f'（x）＞0得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），单调递减区间是（0，3）．（6分）
（2）当x∈[e，e²]时，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以f'（x）=2x-4+

2-a

x

=

2x2-4x+2-a

x

，
设g（x）=2x²-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上单调递增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a（8分）
②当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
1⁰若1+

2a

2

≥e2，即a≥2（e²-1）²时，f（x）在区间[e，e²]单调递减，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2⁰若e＜1+

2a

2

＜e2，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，f（x）在区间[e，1+

2a

2

]上单调递减，
在区间[1+

2a

2

，e2]上单调递增，所以f(x)min=f(1+

2a

2

)=

a

2

-

2a

-3+(2-a)ln(1+

2a

2

)．
3⁰若1+

2a

2

≤e，即0＜a≤2（e-1）²时，f（x）在区间[e，e²]单调递增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．（14分）
综上所述，
当a≥2（e²-1）²时，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
当2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，f（x）_min=

a

2

-

2a

-3+(2-a)ln(1+

2a

2

)；
当a≤2（e-1）²时，f（x）_min=e²-4e+2-a．（16分）