题目内容
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1，
)，离心率为
，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
•
的取值范围．
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
| EM |
| FN |
（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
依题意得
解之可得a2=4，b2=1．
所以椭圆C的方程为
+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E(1，
)，F(1，-
)，M(3，-
)，N(3，
)，所以
•
=1．…（6分）
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．
由
消y并整理得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
直线AE，AF的方程分别为：y=
(x-2)，y=
(x-2)，
令x=3，则M(3，
)，N(3，
)．
所以
=(3-x1，
)，
=(3-x2，
)．…（10分）
所以
•
=(3-x1)(3-x2)+
•
=(3-x1)(3-x2)(1+
)=(3-x1)(3-x2)(1+k2•
)
=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•
]
=(
-3•
+9)•(1+k2•
)
=(
)•(1+
)=
=1+
．…（12分）
因为k2＞0，所以16k2+4＞4，所以1＜
＜
，即
•
∈(1，
)．
综上所述，
•
的取值范围是[1，
)．…（14分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
依题意得
|
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E(1，
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| EM |
| FN |
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．
由
|
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 4k2+1 |
| 4k2-4 |
| 4k2+1 |
直线AE，AF的方程分别为：y=
| y1 |
| x1-2 |
| y2 |
| x2-2 |
令x=3，则M(3，
| y1 |
| x1-2 |
| y2 |
| x2-2 |
所以
| EM |
| y1(3-x1) |
| x1-2 |
| FN |
| y2(3-x2) |
| x2-2 |
所以
| EM |
| FN |
| y1(3-x1) |
| x1-2 |
| y2(3-x2) |
| x2-2 |
=(3-x1)(3-x2)(1+
| y1y2 |
| (x1-2)(x2-2) |
| (x1-1)(x2-1) |
| (x1-2)(x2-2) |
=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•
| x1x2-(x1+x2)+1 |
| x1x2-2(x1+x2)+4 |
=(
| 4k2-4 |
| 4k2+1 |
| 8k2 |
| 4k2+1 |
| ||||
|
=(
| 16k2+5 |
| 4k2+1 |
| -3k2 |
| 4k2 |
| 16k2+5 |
| 16k2+4 |
| 1 |
| 16k2+4 |
因为k2＞0，所以16k2+4＞4，所以1＜
| 16k2+5 |
| 16k2+4 |
| 5 |
| 4 |
| EM |
| FN |
| 5 |
| 4 |
综上所述，
| EM |
| FN |
| 5 |
| 4 |
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