Question

13．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（$\frac{3}{2}$）=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根据条件“对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x）”利用赋值法求出f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，从而求出所求．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得
$\frac{3}{2}$$f（\frac{5}{2}）$=$\frac{5}{2}$$f（\frac{3}{2}）$，$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）
$-\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）
又∵f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）
∴f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，
故选：A

点评 本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．