Question

已知圆，直线。
（Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点.
（Ⅱ）设与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

本试题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。
解：
（1）
解法一：
圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离…………3分
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；……………………6分
解法二：
由方程可得：m(x-1)-y+1=0,令x=1,则y=1
∴对于恒过定点P(1,1),又1²+(1-1)²<5    ………………………3分
∴P点在圆C内部
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； ……………………6分
（2）由（1）得过定点P(1,1)
当M与P不重合时，连结CM、CP，则，
∴ （或者k_CM.k_MP=-1）………………………………………9分
设，则，
化简得：
当M与P重合时，也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是 ……………………12分