Question

14．已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，前n项和为S_n，记数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，若a₁∈[$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{1949}$]，且$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=9，则当n=11时，T_n有最小值．

Answer 1

分析 利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得T_n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：q=1不满足条件，舍去．
∵$\frac{{S}_{6}}{{S}_{3}}$=9，∴$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}$=1+q³=9，
解得q=2．
∴${a}_{n}={a}_{1}×{2}^{n-1}$，
log₂a_n=log₂a₁+（n-1）．
∴T_n=nlog₂a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}$+n$（lo{g}_{2}{a}_{1}-\frac{1}{2}）$，
∵a₁∈[$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{1949}$]，
∴log₂a₁∈[-log₂2016，-log₂1949]，
∴-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{1}-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-lo{g}_{2}{a}_{1}$∈$[\frac{1}{2}+lo{g}_{2}1949，\frac{1}{2}+lo{g}_{2}2016]$，
∵1024=2¹⁰＜1949＜2016＜2048=2¹¹，
∴$\frac{1}{2}+11$＞$\frac{1}{2}+lo{g}_{2}2016$＞$\frac{1}{2}+lo{g}_{2}1949$＞$\frac{1}{2}+10$，
∴当n=11时，T_n取得最小值．
故答案为：11．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．