Question

设函数f（t）对任意的整数x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．
（I）当t∈Z时，用t的代数式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；
（II）当t∈Z时，求函数f（t）的解析式；
（Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对抽象函数所满足的关系式，进行赋值，分别令x=t，y=1，代入化简即可得到结论；
（II）由（I）知f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

，分别令t=1，2，3，…，得出t-1个式子，将这t-1个式子相加后化简即可得到函数f（t）的解析式；
（III）由（II）可知[f(t)]

x

2

=tx，从而不等式[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a，可转化为1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a，也即(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x＞a最后利用而函数的单调性转化为恒成立问题即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）由题设可令x=t，y=1，得f（t+1）=f（t）+f（1）+2t
∵f（1）=1
∴f（t+1）=f（t）+1+2t
∴g(t)=f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

…（3分）
（II）由（I）知f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

∴f（2）-f（1）=2×1+1，
f（3）-f（2）=2×2+1，
f（4）-f（3）=2×3+1，
…，
f(t)-f(t-1)=2×(t-1)+1

，(t∈Z)

∴f（t）-f（1）=2[1+2+3+…+（t+1）]+（t-1）=t²-1
∴当t∈Z时，函数f（t）的解析式为f(t)=

t2，(t∈Z)

…（7分）．
（III）由（II）可知[f(t)]

x

2

=tx，
所以不等式[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a，
可转化为1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a
也即(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x＞a…（9分）
而函数g(x)=(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x在x∈[-1，1]上单调减，
所以要使x∈[-1，1]，[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a恒成立，
则有a＜g（x）_min，
而g(x)min=g(1)=

1

2013

(1+2+3+…+2012)=1006，
∴实数a的取值范围为（-∞，1006）…（12分）．

点评：本题考查抽象函数的求值、计算与证明问题，抽象函数是相对于函数有具体解析式而言的，赋值法是解决抽象函数的一把“利剑”，本题属于中档题．