题目内容

已知f(1，1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有

①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；

②f(m＋1，1)＝2f(m，1)．则f(2009，2008)的值为

[　　]
A．

22008＋2007

B．

22008＋4014

C．

22009＋2007

D．

22009＋4014

答案：B
练习册系列答案
相关题目

已知f(1－x)＝1＋x，则f(x)的表达式为

[　　]

A．f(x)＝2－x

B．f(x)＝2＋x

C．f(x)＝x－2

D．f(x)＝x＋1

已知f(1，1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有

①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；

②f(m＋1，1)＝2f(m，1)．则f(2009，2008)的值为

[　　]
A．

22008＋2007

B．

22008＋4014

C．

22009＋2007

D．

22009＋4014

已知函数

(1)当a＝1时，判断f(x)在(0，1)内的单调性，并用单调性定义加以证明；

(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是

 

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