Question

【题目】已知函数f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．
（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．
（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；
（ii）当 a=1，b=﹣1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）= ，∴f′（x）= ．
∵f′（e）=0，∴b=0，则f′（x）= ．
当a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于0，在（e，+∞）内小于0，
∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）内为减函数，即f（x）有极大值而无极小值；
当a＜0时，f（x）在（0，e）内为减函数，在（e，+∞）内为增函数，即f（x）有极小值而无极大值．
∴a＜0，即实数a的取值范围为（﹣∞，0）；
（Ⅱ）（i）证明：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．
g′（x）= 在区间（0，+∞）上为减函数，又g′（1）=1﹣e＜0，g′（ ）=2﹣ ．
∴存在实数x0∈（ ，1），使得 ．
此时g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0 ， +∞）内为减函数．
又 ，
∴ ，x0=﹣lnx0 ．
由单调性知， = ．
又x0∈（ ，1），∴﹣（ ）＜﹣2．
∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；
（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，
当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．
则h′（x）= ．
令t（x）=h′（x）= ．
∵x＞1，∴t′（x）= ．
∴h′（x）在（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．
①当1+e﹣m≥0时，即m≤1+e时，h′（x）＞0，
∴h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，
∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=e恒成立；
②当1+e﹣m＜0时，即m＞1+e时，h′（x）＜0，
∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．
∴h（x）在区间（1，x0）内单调递减，在（x0 ， +∞）内单调递增．
由h（x0）＜h（1）=e，
∴h（x）＞e不恒成立．
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，1+e]．
∴实数m的最大值为：1+e．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）= ．然后对a分类讨论，可知当a＞0时，f（x）有极大值而无极小值；当a＜0时，f（x）有极小值而无极大值．从而得到实数a的取值范围为（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．求其导函数，可得g′（x）= 在区间（0，+∞）上为减函数，结合零点存在定理可得存在实数x0∈（ ，1），使得 ．得到g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0 ， +∞）内为减函数．又 ，得 ，x0=﹣lnx0 ．
由单调性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，当 a=1，b=﹣1 时，设h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．利用两次求导可得当x＞1时，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分当1+e﹣m≥0时和当1+e﹣m＜0时求解m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．