Question

已知直线l交椭圆于B、C两点，点A（0，4），且椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心，则直线l的方程为________．

Answer 1

6x+5y-8=0
分析：先由椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心，得相交弦BC的中点坐标，再由点B、C在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．
解答：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），椭圆的右焦点为（2，0）
∵点A（0，4），且椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心
∴=2，=0
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4 ①
∵，
∴两式相减得：+=0
将①代入得：=，即直线l的斜率为k=
∵直线l 过BC中点（3，-2）
∴直线l的方程为y+2=（x-3）
故答案为6x-5y-28=0
点评：本题考查了椭圆的标准方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，特别注意当已知相交弦中点时点差法的运用，体会设而不求的解题思想