Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，点E在棱AB上．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（3）试问E点在何处时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则我们可以确定长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各点的坐标，求出直线D₁E和直线A₁D的方向向量后，判断他们的数量积为0，即可得到D₁E⊥A₁D；
（2）由E为AB的中点时，则我们可以求出满足条件的E点的坐标，进而求出直线AC与D₁E的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（3）平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

，则平面D₁EC的法向量

n

与平面AA₁D₁D的法向量

AB

的夹角的余弦值为

6

6

，求出平面D₁EC的法向量

n

，构造关于x的方程，解方程即可得到满足条件的AE的值．

解答：解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（1）因为

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1）
∴

DA1

•

D1E

=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（2）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而

D1E

=（1，1，-1），

AC

=（-1，2，0），
设AC与D₁E所成的角为θ
则 cosθ=

| AC • D1E |

| AC || D1E |

=

|-1+2+0|

5 3

=

15

15

…（9分）
（3）设平面D₁EC的法向量为

n

=（a，b，c），
∵

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）
由

n • D1C =0   n • CE =0

，有

2b-c=0 a+b(x-2)=0

，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴

n

=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos θ=

n • AB

| n |•| AB |

=

2

2 (x-2)2+5

=

6

6

∴x=3（不合题意，舍去），或x=1．
∴当AE=1，即E为线段AB的中点时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，求出各顶点的坐标及相关直线的方向向量及相关平面的法向量的坐标，将空间平行、垂直及夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．