Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁，F₂，点$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，且PF₂⊥x轴．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，原点O在以AB为直径的圆外，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，点$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，且PF₂⊥x轴，可知$c=\sqrt{2}$，$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，由此可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆外，等价于x₁x₂+y₁y₂＞0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$c=\sqrt{2}$，∴a²-b²=2①
又点$P（{\sqrt{2}，\;1}）$在C上，∴$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$②（1分）
联立①②可得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$                （3分）
故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．                    （ 4分）
（Ⅱ）设点A（x₁y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{OA}=（{{x_1}，\;{y_1}}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，\;{y_2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$得3x²+4mx+2m²-4=0                （5分）
由△=16m²-12（2m²-4）=-8m²+48＞0得$-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}$${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$                    （7分）
从而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（{x_1}+m）（{x_2}+m）$=$2{x_1}{x_2}+m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{4{m^2}-8}}{3}-\frac{{4{m^2}}}{3}+{m^2}$=$\frac{{-8+3{m^2}}}{3}$                   （9分）
依题意有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞0$，故$\frac{{-8+3{m^2}}}{3}＞0$，
解得${m^2}＞\frac{8}{3}$，即$m＜-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$或$m＞\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$                  （11分）
故m的取值范围是$（{-\sqrt{6}，\;-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}）∪（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;\sqrt{6}}）$．                          （12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，解题的关键是联立方程，运用韦达定理解题．