题目内容

已知， $数学公式$ $数学公式$ =a，且函数y=alnx+ $数学公式$ +c在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是

A.
（-∞，1]∪[e，+∞]
B.
（-∞，0]∪[e，+∞]
C.
（-∞，e]
D.
[1，e]

A
分析：先由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =a，求得a=1，c=-3，从而得到y=alnx+ $\text{[math]}$ +c= $\text{[math]}$ ，再由“函数y=alnx+ $\text{[math]}$ +c在（1，e）上具有单调性”转化为“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 在（1，e）上恒成立”，再令t= $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ）转化为-bt²+t≥0或-bt²+t≤0在（ $\text{[math]}$ ）上恒成立，由二次函数的性质求解．
解答：∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =a，
∴a=1，c=-3，
∴y=alnx+ $\text{[math]}$ +c= $\text{[math]}$
∵函数y=alnx+ $\text{[math]}$ +c在（1，e）上具有单调性
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 在（1，e）上恒成立
∴令t= $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ）
∴-bt²+t≥0或-bt²+t≤0
∴b≤1或b≥e
故选A
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．