Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分别是PD、CD的中点．
（I）求证：MN⊥AD；
（II）求二面角A-MN-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量的夹角即可；
（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：在△ADC中，由余弦定理可得：AC²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
∴AC²+AD²=CD²，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD．
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），C(

3

，0，0)，D（0，1，0），P（0，0，1），M(0，

1

2

，

1

2

)，
N(

3

2

，

1

2

，0)．
∴

MN

=(

3

2

，0，-

1

2

)，又

AD

=(0，1，0)，
∴

MN

•

AD

=0，∴

MN

⊥

AD

，即MN⊥AD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

AM

=(0，

1

2

，

1

2

)，

CM

=(-

3

，

1

2

，

1

2

)．
设平面AMN的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

AM

=0，

n

•

MN

=0，
可得

1 2 y+ 1 2 z=0 3 2 x- 1 2 z=0

，令z=

3

，则y=-

3

，x=1，
∴

n

=(1，-

3

，

3

)．
同理可得平面CMN的法向量

m

=(1，

3

，

3

)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

1

7 7

=

1

7

．
∴二面角A-MN-C的平面角的余弦值为

1

7

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用两条直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．