Question

已知两点M（2，3），N（2，-3）在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，斜率为

1

2

的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧），且四边形MANB面积的最大值为12

3

．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：先设直线l的方程为y=

1

2

x+m（m∈R）并代入代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，即得椭圆C的方程，从而解决问题．

解答：解：设直线l的方程为y=

1

2

x+m（m∈R）并代入b²x²+a²y²=a²b²
得：(b2+

a2

4

)x²+ma²x+a²m²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
则x1+x2=-

ma2

b2+ a2 4

，x1x2=

m2a2-a2b2

b2+ a2 4

又SMANB=

1

2

|MN|•|x1-x2|=

1

2

|MN|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|MN|

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

显然当m=0时，S_MANB=

1

2

|MN|

4a2b4+a4b2-4a2b2m2

b2+ a2 4

=12

3

（1）
由题意|MN|=6（2）4b²+9a²=a²b²（3）
联立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12
即椭圆C的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的位置关系．本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，利用方程的思想解决具体问题，体现了方程的数学思想．