Question

已知两点M（2，3），N（2，-3）在椭圆上，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧），且四边形MANB面积的最大值为．求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：先设直线l的方程为（m∈R）并代入代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，即得椭圆C的方程，从而解决问题．
解答：解：设直线l的方程为（m∈R）并代入b²x²+a²y²=a²b²
得：x²+ma²x+a²m²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
则，
又
=
显然当m=0时，S_MANB==（1）
由题意|MN|=6（2）4b²+9a²=a²b²（3）
联立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12
即椭圆C的方程为：．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的位置关系．本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，利用方程的思想解决具体问题，体现了方程的数学思想．