题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若把函数f（x）的图象按向量a平移后所得函数为奇函数，求使得|a|最小的a．

（本小题13分）
解：∵f（x）=sin²x+ $\text{[math]}$ sinxcosx+1
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2x+1
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ …（2分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期
T= $\text{[math]}$ =π…（3分）
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ?kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
即函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．…（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，
∴2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴sin（2x- $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]，
所以函数f（x）的最小值为1，最大值为 $\text{[math]}$ …（9分）
（Ⅲ）令2x- $\text{[math]}$ =kπ，x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （k∈Z），
即函数图象对称中心为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）k=0时距原点最近，则满足条件的| $\text{[math]}$ |=（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）…（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换将f（x）=sin²x+ $\text{[math]}$ sinxcosx+1化简为：f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性质可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）由前两问可知，2x- $\text{[math]}$ =kπ时，f（x）为奇函数，从而可求得其对称中心，继而可求得| $\text{[math]}$ |最小时对应的向量．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的最小正周期、单调区间、最值及对称中心，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题的基础，属于中档题．