题目内容
（2006•杭州一模）设函数f（x）=
（a∈N*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-
成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{an}是各项非零的数列，若f(
)=
对任意n∈N*成立，求数列{an}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．
| x2 |
| ax-2 |
| 1 |
| m |
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{an}是各项非零的数列，若f(
| 1 |
| an |
| 1 |
| 4(a1+a2+…+an) |
（3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．
分析：（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-
关系及（a∈N*）构造一个不等式，求出a的值，即求出函数f（x）的表达式．
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）求得f（x）的表达式，代入f(
)=
求出递推式sn与an的关系，
再利用an=
求出数列{an}的一个通项公式；
（3）根据（2）的条件数列{an}的通项公式不止一个，给出实例即证．
| 1 |
| m |
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）求得f（x）的表达式，代入f(
| 1 |
| an |
| 1 |
| 4(a1+a2+…+an) |
再利用an=
|
（3）根据（2）的条件数列{an}的通项公式不止一个，给出实例即证．
解答：解：（1）∵f（x）=
（a∈N*），
∴f（m）=
=m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=
①；
又f（-m）=
＜-
，即
＞1，
由（a，m∈N*）得：m3＞am+2②，
把①代入②，得
＞
+2；
整理，得
-
-4＞0，
根据a≠1，a∈N*，取a=2，满足上式，当a≥3时，
-
-4＜0，
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=
．
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）知f（x）=
，则f(
)=
，
代入f(
)=
，
得2an-2an2=4（a1+a2+…+an）=4sn，即an-an2=2sn，
∴an-1-an-12=2sn-1（n≥2），
∴（an-an2）-（an-1-an-12）=2an，
∴an+an-1=0，或an-an-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a1-a12=2a1，
∴a1=0（舍去），或a1=-1；
由an-an-1=-1，得{an}是等差数列，通项an=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{an}的通项公式不止一个，
例如由an+an-1=0，且a1=-1，可得an=（-1）n（n为奇数时）；
所以，数列{an}不是惟一确定的．
| x2 |
| ax-2 |
∴f（m）=
| m2 |
| am-2 |
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=
| 2 |
| a-1 |
又f（-m）=
| m2 |
| -am-2 |
| 1 |
| m |
| m3 |
| am+2 |
由（a，m∈N*）得：m3＞am+2②，
把①代入②，得
| 8 |
| (a-1)3 |
| 2a |
| a-1 |
整理，得
| 8 |
| (a-1)3 |
| 2 |
| a-1 |
根据a≠1，a∈N*，取a=2，满足上式，当a≥3时，
| 8 |
| (a-1)3 |
| 2 |
| a-1 |
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=
| x2 |
| 2x-2 |
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）知f（x）=
| x2 |
| 2x-2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2an-2an2 |
代入f(
| 1 |
| an |
| 1 |
| 4(a1+a2+…+an) |
得2an-2an2=4（a1+a2+…+an）=4sn，即an-an2=2sn，
∴an-1-an-12=2sn-1（n≥2），
∴（an-an2）-（an-1-an-12）=2an，
∴an+an-1=0，或an-an-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a1-a12=2a1，
∴a1=0（舍去），或a1=-1；
由an-an-1=-1，得{an}是等差数列，通项an=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{an}的通项公式不止一个，
例如由an+an-1=0，且a1=-1，可得an=（-1）n（n为奇数时）；
所以，数列{an}不是惟一确定的．
点评：本题考查了函数与数列的综合应用，也考查了函数与不等式的应用，数列递推公式的应用；解题时要细心分析，并适当的猜想，仔细解答．
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