Question

已知函数y=f(x)满足：f(x)=

(Ⅰ)分别写出x∈[0，1)时y=f(x)的解析式f₁(x)和x∈[1，2)时y=f(x)的解析式f₂(x)；并猜想x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z时y=f(x)的解析式f_n+1(x)(用x和n表示，不必证明);

(Ⅱ)当x=n+(n≥-1，n∈Z)时，y=f_n+1(x)，x∈[n，n+1)，(n≥-1，n∈Z)的图象上有点列A_n+1(x，f(x))和点列B_n+1(n+1，f(n+1))，线段A_n+1B_n+2与线段B_n+1A_n+2的交点C_n+1，求点C_n+1的坐标(a_n+1(x)，b_n+1(x))；

(Ⅲ)在前面(Ⅰ)(Ⅱ)的基础上，请你提出一个点列C_n+1(a_n+1(x)，b_n+1(x))的问题，并进行研究，并写下你研究的过程.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)x∈[0，1)时，x-1∈[-1，0)

∴f₁(x)=f(x-1)+1=sinπ(x-1)+1=1-sinπx

x∈[1，2)时，x-1∈[0，1)

∴f₂(x)=f(x-1)+1=1-sin(πx-π)+12+sinπx

x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z时，

∴f_n+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=…n+1+(-1)ⁿ⁺¹sinπx

(Ⅱ)当x=n+

A_n+1(n+，n)，B_n+1(n+1，n+2)，

k_An+1An+2=1，k_Bn+1Bn+2=1

k_An+1Bn+1=4，k_An+2Bn+2=4

C_n+1是平行四边形A_n+1A_n+2B_n+2B_n+1

C_n+1(n+，n+)，

(Ⅲ)第一类

例如：在(Ⅱ)的条件下，点C_n+1与C_n+2之间具有怎样的数量关系

解答：C_n+1C_n+2=

第二类

例如：在(Ⅱ)的条件下，点C_n+1与C_n+2之间具有怎样的位置关系

解答：C_n+1与C_n+2在直线y=x+上

第三类

例如：把(Ⅱ)的条件x=n+改成x∈[n，n+1)时，点C_n+1(a_n+1(x)，b_n+1(x))的运动曲线是什么？

解答：y_c=

即y_c=，只需写出一个区间段上的即可.