Question

设

a

=（2cosωx，

3

sinωx），

b

=（cosωx，2cosωx）（w＞0），函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为π：
（Ⅰ） 求f（x）的单调增区间
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用斜率的数量积已经二倍角公式两角和的正弦函数化简函数的表达式，利用函数的周期求出ω，通过正弦函数的单调增区间求解f（x）的单调增区间．
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，利用f（A）=2结合（Ⅰ）求出A，通过b=1，△ABC的面积为

3

2

，求出c，利用余弦定理求出a，通过正弦定理求

b+c

sinB+sinC

的值．

解答：解（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=（2cosωx，

3

sinωx）•（cosωx，2cosωx）
=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx
=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，…（3分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

    k∈Z
f（x）的单调增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z…．（6分）
（Ⅱ）∵在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，
∴2sin（2A+

π

6

）+1=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，∵b=1
∴c=2．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒a=

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

 =

c

sinC

⇒

a+c

sinA+sinC

=2…..（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，斜率的数量积的应用，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．