Question

已知直线y=x与函数和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得点Q（，），设M（a，），且 a＞0，a≠，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，可得
b≤++．由基本不等式可得 ++＞2，故 b≤2，由此求得点P横坐标b的取值范围．
解答：解：∵直线y=x与函数和图象交于点Q，∴点Q（，）．
由于 P、M分别是直线y=x与函数的图象上异于点Q的两点，
设M（a，），且 a＞0，a≠，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，
可得 （b-a）²+≥+ 恒成立，化简可得 （2a+-4）b≤a²+-4．
由于a＞0，a≠时，故（2a+-4）＞0，且 a²+-4＞0，由不等式可得
b≤==•=•
=•=++．
即 b≤++．
由a＞0，a≠，利用基本不等式可得++＞2，故 b≤2．
再由题意可得，b≠，故点P横坐标b的取值范围是 ∪（，2]．
故答案为 ∪（，2]．
点评：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，式子变形是解题的难点和关键，属于中档题．