Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．

(1)设S_n＝3n²－2n，求证：{a_n}是等差数列；

(2)若S_n＝3n²－2n－1，{a_n}是否为等差数列？

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为Sn＝3n2－2n，所以当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5．所以an＝6n－5(n∈N*)．因为an+1－an＝6(n＋1)－5－(6n－5)＝6是常数，所以{an}是等差数列． 　　(2)Sn＝3n2－2n－1，这时a1＝S1＝0，而当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－5，得a2＝7，a3＝13，a1，a2，a3不成等差数列，故{an}不是等差数列．

提示：

[提示]为了证明数列{an}是等差数列，根据定义，只要证明a n+1－an＝d(常数)，而要说明数列{an}不是等差数列，按照定义，只要说明an+1－an不是常数就可以了． 　　[说明]定义法就是直接运用数学定义解决问题，这是一种非常重要的数学方法．证明一个数列是等差数列，其基本方法就是运用等差数列的定义，证明an+1－an是一个与n无关的常数．