Question

如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1.

(1)求证:AH⊥平面PBC;

(2)求PM与平面AHB成角的正弦值;

(3)设点N在线段PB上,且=λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值.

Answer 1

 (1)证明:因为PA⊥底面ABC,BD⊂底面ABC,

所以PA⊥BC,

又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,

所以BC⊥平面PAC,

又因为AH⊂平面PAC,

所以BC⊥AH.

因为PA=AC,H是PC中点,

所以AH⊥PC,

又因为PC∩BC=C,

所以AH⊥平面PBC.

(2)解:在平面ABC中,过点A作AD∥BC,

因为BC⊥平面PAC,

所以AD⊥平面PAC,

又PA⊥底面ABC,得PA,AC,AD两两垂直,

所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系

则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,,).

设平面AHB的法向量为n=(x,y,z),

=(0,1,1),=(1,2,0),

由

得

令z=1,得n=(2,-1,1).

设PM与平面AHB所成角为θ,

因为=(0,,-),

所以sin θ=|cos<,n>|

=||

=||

即sin θ=.

(3)解:因为=(1,2,-2),=λ,

所以=(λ,2λ,-2λ),

又因为=(0,,-),

所以=-

=(λ,2λ-,-2λ).

因为MN∥平面ABC,平面ABC的一个法向量=(0,0,2),

所以·=3-4λ=0,

解得λ=.