Question

5．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为$\frac{81}{4}$，则前4项倒数的和为2．

Answer 1

分析 设等比数列为{a_n}，公比为q，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=9和a₁⁴q^0+1+2+3=$\frac{81}{4}$，变形可得$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$=$\frac{2}{9}$，前4项倒数的和为$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，整体代入可得．

解答 解：设等比数列为{a_n}，公比为q，
则a_n＞0，q＞0且q≠1，
∵前4项的和为9，积为$\frac{81}{4}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=9，①a₁⁴q^0+1+2+3=$\frac{81}{4}$，②
由②可得a₁²q³=$\frac{9}{2}$，故$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$=$\frac{2}{9}$，
前4项倒数的和为$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{{q}^{4}-1}{{q}^{4}}}{\frac{q-1}{q}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}$•$\frac{1-{q}^{4}}{1-q}$=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=2
故答案为：2

点评 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，整体求解是解决问题的关键，属中档题．