Question

若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0，y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x₁+x₂=2m²-2c  x₁x₂=c²，
（1）当m=-1，c=-2时，要证OA⊥OB．只要证x₁x₂+y₁y₂=0 即可
（2）当OA⊥OB时，x₁x₂+y₁y₂=0 可求c，此时可求直线l：x+my-2=0及过的定点
（3）要判断△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系，只要判断圆心到准线的距离与半径的大小即可

解答：解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x+my+c=0 y2=2x

得y²+2my+2c=0
可知y₁+y₂=-2m  y₁y₂=2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
∴x₁+x₂=2m²-2c，x1x2=

1

2

y

2 1

• 1 2 y

2 2

=

1

4

×4c2=c2
（1）当m=-1，c=-2时，x₁x₂+y₁y₂=0 所以OA⊥OB．
（2）当OA⊥OB时，x₁x₂+y₁y₂=0 于是c²+2c=0
∴c=-2（c=0不合题意），此时，直线l：x+my-2=0（3）过定点（2，0）．
（3）由（2）OA⊥OB，知c=-2
由题意AB的中点D（就是△OAB外接圆圆心）到原点的距离就是外接圆的半径．D（m²-c，-m）
而（m²-c+

1

2

）²-[（m²-c）²+m²]=

1

4

-c=

9

4

∴圆心到准线的距离大于半径，故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离

点评：本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用．综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力．