Question

【题目】已知F是抛物线的焦点，点M是抛物线上的定点，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线AB与抛物线C交于不同两点，直线与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】

（1）设，由，求得，代入抛物线的方程，求得的值，即可得到抛物线的方程；

（2）设其方程为，联立方程组，求得，得到Q，

由条件设切线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得切点N，再由轴，求得及，利用面积公式，即可求解。

（1）设，由题知，所以，

所以，即，

代入中得，解得，

所以抛物线C的方程为。

（2）由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，

由，整理得，则，

所以，

设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，

由条件设切线的方程为，则，整理得。

因为直线与抛物线相切，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以切点N的坐标为，

所以轴，所以，

因为，

又因为，所以，

所以，

所以的面积为定值，且定值为