Question

已知奇函数f(x)=a+

1

4x+1

．
（1）求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）是奇函数，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）的单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，求不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，且函数的定义域为R，
则f（0）=0，
即f（0）=a+

1

2

=0，解得a=-

1

2

．
∴f（x）=

1

4x+1

-

1

2

．
（2）f（x）=

1

4x+1

-

1

2

在R上单调递减．
证明如下：任取x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=(

1

4x1+1

-

1

2

)-(

1

4x2+1

-

1

2

)=

1

4x1+1

-

1

4x2+1

=

4x2-4x1

(4x1+1)(4x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，
∴f（2x-1）＞-f（2-3x），
又∵y=f（x）是奇函数，
∴f（2x-1）＞f（3x-2），
∴2x-1＜3x-2，
∴x＞1，
∴不等式的解集为（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质和单调性的定义．