Question

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求平面BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）确定平面BDD₁的一个法向量、平面BFC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BDD₁与平面BFC₁所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），确定y的范围，表示出EP，即可求EP的最大值、最小值．

解答：解：（I）平面BDD₁的一个法向量为

MA

=(

1

2

，-

1

2

，0)
设平面BFC₁的法向量为

n

=(x，y，z)

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC =(x，y，z)•(-1，0，1)=-x+z=0

∴

x=z y=2z

取z=1得平面BFC₁的一个法向量

n

=(1，2，1)
∴cos＜

MA

，

n

＞=

MA • n

| MA || n |

=

1 2 -1

2 2 6

=-

3

6

∴所求的余弦值为

3

6

…（5分）
（II）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），

EP

=(x-

1

2

，y，-1)，
由

EP

•

n

=0得(x-

1

2

)+2y-1=0
即x=-2y+

3

2

，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+

3

2

≤1，∴

1

4

≤y≤

3

4

∴|

EP

|=

(x- 1 2 )2+y2+1

=

(2y-1)2+y2+1

=

5y2-4y+2

=

5(y- 2 5 )2+ 6 5

∵

1

4

≤y≤

3

4

，∴当y=

2

5

时，∴|

EP

|min=

30

5

，当y=

3

4

时，∴|

EP

|max=

29

4

…（10分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．