Question

已知函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1，
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(3)=4且a＞0，解关于x的不等式：f()＞2。

Answer 1

(1)证明：设，且，则，
∴，
又
=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)＞0，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)解：∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4，
∴f(1)=2，
又，f(x)是R上的增函数，
∴，即，
(ⅰ)当0＜a＜1时，，
原不等式等价于，
∴原不等式的解集为；
(ⅱ)当a=1时，原不等式等价于，
∴原不等式的解集为{x|x＞2}；
(ⅲ)当a＞1时，，
原不等式等价于，
∴原不等式的解集为{x|或x＞2}；
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a=1时，原不等式的解集为{x|x＞2}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|或x＞2}。