Question

已知P为曲线C：y=

1

x

上任一点，过点P作曲线C的切线，并与两坐标轴交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

2

．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀）为曲线C：y=

1

x

上任一点，过点P作曲线C的切线l，利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于A，B两点的坐标，继而可求△OAB的面积．

解答：解：设P（x₀，y₀）为曲线C：y=

1

x

上任一点，则y₀=

1

x0

．
∵y′=-

1

x2

，设过曲线C：y=

1

x

上一点P的切线l的斜率为k，
则k=y′|x=x0=-

1

x2

|x=x0=-

1

x02

，
∴切线l的方程为：y-y₀=-

1

x02

（x-x₀），
∴当x=0时，y=

1

x0

+y₀=

2

x0

，即B（0，

2

x0

）；
当y=0时，x=y₀•x02+x₀=

1

x0

•x02+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2x₀|•|

2

x0

|=2．
故答案为：2．

点评：本题考查利用导数求过曲线C：y=

1

x

上一点P的切线l的斜率，考查直线的方程及截距，考查三角形的面积公式，属于中档题．