Question

（06年四川卷文）（12分）

如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,

M、N分别是AE、的中点,

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

Answer 1

本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。

解析：解法一：

（Ⅰ）证明：取的中点，连结

      ∵分别为的中点

       ∵

       ∴面，面

        ∴面面

         ∴面

（Ⅱ）设为的中点

∵为的中点   ∴

∴面

作，交于，连结，则由三垂线定理得

从而为二面角的平面角。

在中，，从而

在中，

故：二面角的大小为

方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则

      

∵分别是的中点

∴

（Ⅰ）

      取，显然面

      ，∴

又面

∴面

∴过作，交于，取的中点，则

设，则

又

由，及在直线上，可得:

解得

∴

∴   即

∴与所夹的角等于二面角的大小

故：二面角的大小为