Question

9．设P为双曲线 C：x²-y²=1的一点，F₁，F₂分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，则△PF₁F₂的内切圆的半径为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 通过由cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$可得sin∠F₁PF₂=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，利用双曲线的定义可得|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，在三角形PF₁F₂中利用余弦、正弦定理、三角形面积公式可得△PF₁F₂的内切圆的半径．

解答 解：由cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$，可得sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵双曲线C：x²-y²=1中a=b=1，
∴c=$\sqrt{2}$，即|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，
根据题意|PF₁-PF₂|=2a=2，
即：PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂=4，
由余弦定理可知：cosF₁PF₂=（PF₁²+PF₂²-F₁F₂²）•$\frac{1}{2P{F}_{1}•P{F}_{2}}$，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{2P{F}_{1}•P{F}_{2}-4}{2P{F}_{1}•P{F}_{2}}$，即PF₂•PF₂=3，
由正弦定理可知：$\frac{P{F}_{2}}{sinP{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{sin{F}_{1}P{F}_{2}}$，∴sinPF₁F₂=$\frac{P{F}_{2}sin{F}_{1}P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴P到x轴距离d=PF₁sinPF₁F₂=PF₁×$\frac{P{F}_{2}sin{F}_{1}P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{2}}$=1，
不妨设y_P=1，则x_P²=1+1=2，即P（$\sqrt{2}$，1），
∴PF₁=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+1}$=3，∴PF₂=PF₁-2a=1，
显然△PF₁F₂是以∠PF₂F₁为直角的Rt△．
设∴Rt△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则$\frac{1}{2}×{F}_{1}{F}_{2}×P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×$（PF₁+PF₂+F₁F₂）r，
∴r=$\frac{P{F}_{2}×{F}_{1}{F}_{2}}{P{F}_{1}+P{F}_{2}+{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1×2\sqrt{2}}{3+1+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，
∴△PF₁F₂的内切圆的半径为：$\sqrt{2}$-1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．