Question

17．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$＞=60°，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2．

Answer 1

分析 根据题意，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$夹角的大小，画出图形表示$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
求出|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|的值，再根据正弦定理求出三角形外接圆的直径，即为OC的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，
如图所示：
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1-2×（-$\frac{1}{2}$）=3，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{3}$，
由正弦定理得：
△OAB的外接圆直径为
2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=2，
∴当OC为直径时，它的模最大，最大值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了四点共圆的应用问题以及正弦定理的应用问题，是综合性题目．