Question

甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A₁、A₂，由A₁与A₂互斥，能求出从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A₁、A₂，且A₁与A₂互斥，
则：P（A₁）==，P（A₂）==，（4分）
∴P（A）==，
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．（6分）
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=+=，（答对一个得1分）（9分）
∴ξ的分布列为

ξ		1	2
P

∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）
点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．