题目内容
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；
（2）求证：EF⊥B1C．
（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；
（2）求证：EF⊥B1C．
解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B
∵EF
平面BC1A1，A1B
平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．
（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，
∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，
又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C
∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B
由（1）知，EF∥A1B
∴EF⊥B1C．
∵EF
平面BC1A1，A1B平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，
∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，
又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C
∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B
由（1）知，EF∥A1B
∴EF⊥B1C．
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