Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求二面角E-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）设F（0，0，z）．
∵AEC₁F为平行四边形，
∴
即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴．
（II）设为平面AEC₁F的法向量且=（x，y，z）
由即=（-2，0，0）
设二面角E-FC₁-C为α，则cosα=．
分析：（I）由长方体的几何特征，我们可以建立空间坐标系，设出F点的坐标，我们易根据截面AEC₁F为平行四边形，，得到F点的坐标；
（II）我们分别求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间中点的坐标，其中（I）的关键是根据平行四边形法则，得到，（II）的关键是求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量将二面角问题转化为向量夹角问题．