Question

10．设函数f（x）在[0，1]上有意义，f（0）=f（1），对于任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用f（0）=f（1），进行适当放缩外，注意添项减项的技巧应用，即可证得结论．

解答 证明：当|x₁-x₂|＜$\frac{1}{2}$时，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|＜$\frac{1}{2}$
当|x₁-x₂|≥$\frac{1}{2}$时，x₁，x₂∈[0，1]，
不妨设0≤x₁＜x₂≤1，其中x₂-x₁≥$\frac{1}{2}$，
∵f（0）=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|
≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|＜|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1＜-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$．
∴对任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有：|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{1}{2}$成立

点评 本题考查函数与不等式的综合应用，解答时要先充分理解已知条件，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，属于中档题．