Question

如图，在中，∠A是直角，，有一个椭圆以为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若以PQ所在直线为轴，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，若经过点Q的直线将的面积分为相等的两部分，求直线的方程.

Answer 1

（1）因为椭圆以P为一个焦点，另一个焦点Q在AB上，且椭圆经过点A、B，

     所以由椭圆的定义知，

     因此，解得.

     于是椭圆的长轴长，焦距，

     故椭圆的离心率.

（2）依题意，可设椭圆方程为，

    由（1）知，，∴，∴椭圆方程为.

（3）依题意，设直线的方程为，

设直线与PA相交于点C，则，故，从而.

设，由，得，解得.

设，由，得，解得.

∴，∴直线的方程为.