Question

【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e=．

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设过椭圆C的上顶点A的直线与椭圆交于点B(B不在y轴上)，垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若=0，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的焦点 ，由到直线 的距离为，得到，即，再由椭圆离心率，故， ，椭圆方程为；（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线方程，设， ,

由，得，得到， ，分别表示出向量,，得到，再根据,得到，所以方程，联立得到，进而求出，即直线的方程为.

试题解析：（Ⅰ）由已知椭圆方程为，

设椭圆的焦点 ，由到直线 的距离为,

得，

又椭圆的离心率，所以，

又，求得.

椭圆方程为.

（Ⅱ）设直线的斜率为，

则直线方程，设， ,

由，得，

则有， ，所以，

所以,,

由已知,

所以 ,解得,

,， ,

方程，

联立解得，

由，解得，

所以直线的方程为.