题目内容
在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
n
mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中
，
)且与点A相距10
n
mile的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
（I）船的行驶速度为
（海里/小时）.（II）船会进入警戒水域.
【解析】
试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出
,然后利用余弦定理求出BC的值，从而可求出船的行驶速度.
(II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系，因而可求出直线l的方程，以及E点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论.
（I）如图，AB=40
，AC=10
，
由于
,所以cos
=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=
AB=40,
x2=ACcos
,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
=
=
.
从而
在
中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP 
BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt
中，PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
考点：正余弦定理在解三角形当中的应用，直线方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.
点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.
能考试期末冲刺卷系列答案
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北方向55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域．点E正北40
海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中sin
，
)且与点A相距10
海里的位置C.