题目内容
已知a，b∈（0，+∞），求证：（a+b）（
+
）≥4．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
分析：将不等式的左边展开，得（a+b）（
+
）=
+
+2，结合a、b∈（0，+∞）利用基本不等式证出
+
≥2，即可证出不等式的左边大于等于4，当且仅当a=b时等号成立，即得原不等式成立．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
解答：解：（a+b）（
+
）=
+
+2
∵a、b∈（0，+∞），
∴
、
均为正数，可得
+
≥2
=2
因此，（a+b）（
+
）=
+
+2≥2+2=4
即（a+b）（
+
）≥4
当且仅当a=b时，等号成立．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
∵a、b∈（0，+∞），
∴
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
因此，（a+b）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
即（a+b）（
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
当且仅当a=b时，等号成立．
点评：本题求证关于正数a、b的一个不等式恒成立．着重考查了分析法与综合法、利用基本不等式进行推理论证等知识，属于中档题．
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