Question

（本小题满分12分）设双曲线的两个焦点分别为,离心率为2.

（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；

（Ⅱ）若分别为上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）的轨迹方程为 则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为，短轴长为的椭圆.

【解析】

试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，，的中点，利用已知条件，得出相应的关系，再根据点分别为上的点，坐标满足直线方程，两式相加得，两式相减得：，把和代入=10，另外利用中点坐标公式，求出点的轨迹方程；

试题解析：（Ⅰ）由 ，双曲渐近线方程为;

（Ⅱ）设，，的中点

∵∴,∴=10，又，两式相加，两式相减：，则，

,则根据中点坐标公式：，∴，则的轨迹方程为

则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为，短轴长为的椭圆.

考点：1.双曲线的离心率与渐近线方程；2.求动点轨迹方程；