Question

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

 

Answer 1

（1），；（2）祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知及与的关系：，令n=1可求得的值，再将已知等式中的n换成n+1得，然后与已知式子：相减得到：，从而可得到：，这说明数列是公比为的等比数列，所以就可写出数列的通项公式，再代入就可得到数列的通项公式；（2）由（1）的结果，结合就可得到数列的通项公式，如果其前n项和可求，则先求出其前n项和再与比较大小；若直接求和比较难办，则注意思考先用放缩法将数列的通项公式放大成一个可求和的数列，则小于此数列的前n项和，而此此数列的前n项和恰好是小于或等于的，因此在放大的时候一定要注意适当放大且能求和是关键．

试题解析：（1）当时， 1分

又 3分

∴数列是首项为，公比为的等比数列， 4分

∴， 6分

（2）由得 7分

10分

又 当时，，， 11分

当时，

∴对任意正整数都有。 14分

考点：１．等比数列；２．数列求和；３．不等式的证明．