Question

设函数f(x)=(

1

2

)x，数列{a_n}满足a1=f(0)，f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试比较 S_n与

4

3

Tn的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：解：（1）由已知，f(x)=(

1

2

)x可求a₁=1，由f(an+1)=

1

f(-2-an)

可得a_n+1-a_n=2，从而可得数列{a_n}是首项为1，公差为 2 的等差数列，从而可求通项公式
（2）由（1）可得bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1，则有数列{b_n}是等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求S_n，利用裂项求和可求T_n，故比较Sn与

4

3

Tn的大小，只需比较 (

1

4

)n与

1

2n+1

的大小即可，即只需比较 2n+1与4ⁿ的大小，利用二项展开式即可

解答：解：（1）∵f(x)=(

1

2

)x∴a1=f(0)=(

1

2

)0=1，
又∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)an+2．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是首项为1，公差为 2 的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1∴

bn+1

bn

=

( 1 2 )2n+1

( 1 2 )2n-1

=

1

4

…（6分）
即数列{b_n}是首项为 

1

2

，公比为 

1

4

的等比数列
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]…（7分）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan-1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)…（10分）
∴

4

3

Tn=

2

3

(1-

1

2n+1

)
故比较Sn与

4

3

Tn的大小，只需比较 (

1

4

)n与

1

2n+1

的大小即可       …（11分）
即只需比较 2n+1与4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故 Sn＞

4

3

Tn   …（13分）

点评：本题主要考查了利用递推公式构造等差（等比）数列求解数列的通项公式，（2）综合考查了等比数列的前n项和公式及裂项求和的方法在求解数列的和中的应用，结局（2）的关键是要把所求的问题进行转换，结合二项展开式求解即可．