Question

18．（1）已知{a_n}是项数相同的等比数列，求证：{a_n²}也是等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+S_n=n，c_n=a_n-1，求证：数列{c_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义证明即可．
（2）通过a_n+S_n=n与a_n+1+S_n+1=n+1作差、整理可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），进而可知数列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；

解答 证明：（1）{a_n}是等比数列，设公比为q，当n≥2时，$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{{n-1}^{2}}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$）=q²为常数，故{a_n²}为等比数列；
（2）：∵a_n+S_n=n，
∴a_n+1+S_n+1=n+1，
两式相减得：a_n+1-a_n+a_n+1=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵c_n=a_n-1，
∴c_n+1=$\frac{1}{2}$c_n，
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴c₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．