Question

【题目】设离心率为 的椭圆 的左、右焦点为 , 点P是E上一点, , 内切圆的半径为 .

(1)求E的方程;

(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线上，A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为 , 求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）要求E的方程，需求出。由直角三角形内切圆半径公式可得，所以依题意有又，由此解得，从而，由此可得椭圆的方程.

（2）由于ABCD为矩形，所以有∥，所以,设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得，再由弦长公式得出，又由∥，由平行线距离公式可得，由得，可将化简为，再有由已知可得

即可解出得出直线AB的方程.

试题解析：

（1）直角三角形内切圆的半径

依题意有 ，又，由此解得，从而

故椭圆的方程为

（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得，由得

设，则，

而，由知

所以由已知可得，即，

整理得，解得或（舍去）

所以直线的方程为.